Las vibraciones en los sistemas mecánicos son causadas por fuerzas externas, Una cuerda de violín vibra por la acción del arco, una viga de acero vibra si se golpea con un martillo y un puente vibra si lo cruza un contingente de soldados marchando con cierta cadencia. Esta sección se utilizan las ecuaciones diferenciales para analizar las vibraciones de un resorte

Según la ley de Hooke, la fuerza que se necesita para estirar un resorte y unidades a partir de su longitud natural es ky, para algún número real positivo k, que se llama constante de fuerza del resorte. La fuerza restauradora del resorte es – ky. Supongamos que se sujeta al resorte un cuerpo de peso W, y que en la posición de equilibrio el resorte se alarga una distancia l₁ más allá de su longitud natural l₀, como se observa en la siguiente gráfica.

Si g es la aceleración de la gravedad, y m la masa del cuerpo, entonces

W = mg y en posición de equilibrio

mg = kl o bien mg – kl = 0

suponiendo que la masa del resorte es despreciable compara con m

Supongamos que el cuerpo se tira hacia abajo y se suelta. Se introduce una recta coordenada como se observa en la siguiente gráfica. Donde y denota la distancia (con signo) desde el punto de equilibrio hasta el centro de masa del cuerpo a los t segundos. La fuerza F que actúa sobre el cuerpo cuando la aceleración es a de acuerdo con la segunda ley del movimiento de Newton, está dada por F = ma Suponiendo que el movimiento es no amortiguado, es decir que no hay ninguna fuerza externa en contra del movimiento, y que el cuerpo se mueve en un medio sin fricción, se ve que

F = mg – k(l₁ + y) = mg – kl₁ – ky = -ky

Como F ma y a = d²y/dt², esto implica que

Dividiendo ambos lados de esta ecuación entre m se obtiene la siguiente ecuación diferencial

Demostrar que si un cuerpo de masa m se encuentra en movimiento vibratorio no amortiguado, el movimiento armónico simple. Calcular el desplazamiento si el cuerpo se desplaza a una distancia I₂ y luego desde velocidad cero.

Si denotamos k/m por w²

d² y + w²y = 0

las soluciones de la ecuación auxiliar m² + w² = 0 son ± wi. Por tanto, según el teorema como

Resulta que el cuerpo se encuentra en movimiento armónico simple. Si el cuerpo se lleva a una distancia I₂ y luego se suelta desde velocidad cero , entonces a t = 0

I₂ = C₁ (1) + C₂ (2) o bien C₁ = I₂

Como dy = - wC₁ sen wt + wC₂ cos wt,

Tenemos también (en t= 0) que

0 = - wC₁(0) + w C₂ (1) o bien C₂ = 0

por lo tanto, el desplazamiento y del cuerpo al tiempo t es

y = I₂ cos wt

FIGURA 2

Un cuerpo que pesa 8 lbf estira resorte vertical 2 pie más allá de su longitud natural. Luego el cuerpo tiene otro desplazamiento de ½ pie y se suelta con una velocidad inicial de 6 pie/s. Encontrar una fórmula para el desplazamiento del cuerpo en cualquier tiempo t.

SOLUCION. De la ley de Hooke, 8 = k(2) o bien k = 4. Si y es el desplazamiento del cuerpo con respecto a su posición de equilibrio al tiempo t, entonces, según la vibración sin amortiguamiento (libre)

d² y + 4 y = 0

como W = mg, se tiene que m = W/g = 8/32 = ¼. Por lo tanto,

d² y +16 y = 0

Esto implica que

En t = 0, tenemos y = ½ y por lo tanto,

½ = C (1) + C (0) o bien C = ½ .

dy = -4C₁ sen 4t + 4C₂ cos 4t

dt

y dy/dt = -6 en t = 0, obtenemos

-6 = -4C (0) + 4C (1) o bien C = - ¾

Por lo que, el desplazamiento al tiempo t esta dado por

Yy = ½ cos 4t – ¾ sen 4t

Consideremos ahora el movimiento del resorte cuando hay una fuerza de amortiguamiento (o de fricción), como en el caso en que el cuerpo se mueve sumergido en un fluido, como se observa el la siguiente figura

FIGURA 3

Los amortiguadores de un automóvil son un buen ejemplo de este caso. Se supondrá que la dirección de la fuerza amortiguadora es opuesta a la del movimiento y que la magnitud es directamente proporcional a la velocidad del cuerpo. Por tanto, la fuerza de amortiguamiento está dada por –c(dy/dt) para una constante positiva c, De acuerdo con la segunda ley de Newton, la ecuación diferencial que describe el movimiento es

Dividiendo entre m y ordenando los términos, se obtiene la siguiente ecuación diferencial.

analizar el movimiento de un cuerpo de masa m en movimiento vibratorio amortiguado.

SOLUCION. Sea k/m = w². Para simplificar las raíces de la ecuación auxiliar, definimos también c/m = 2p. Usando esta notación

d² y + 2p dy + w²y = 0

Las raíces de la ecuación auxiliar m² + 2pm + w² = 0

A continuación se da una clasificación de estos tres tipos de movimiento.

La solución general de la ecuación diferencial es

4m m 4m²

La forma en que y tiende a 0 depende de las constantes C y C de la solución general. Si ambas constantes son positivas, la gráfica tiene la forma general que se ilustra en la siguiente gráfica

GRAFICA 1 (i)

Y si tienen signos opuestos, la gráfica se asemeja a la que se muestra a continuación

GRAFICA 2. (ii)

CASO (ii) p ² – w ² = 0

En este caso la ecuación auxiliar tiene una raíz doble – p, y la solución general de la ecuación diferencial es

En la siguiente figura se muestra una gráfica típica de este caso, que es parecida a la figura .11(i). Sin embargo, en este caso, una disminución en la fuerza de amortiguamiento por pequeña que sea lleva al movimiento oscilatorio del siguiente tipo.

y = e^{- at} (C₁ sen bt+ C₂ cos bt)

En este caso c es pequeño con respecto a k, y el resorte oscila al regresar a su posición de equilibrio, como se ilustra en la siguiente figura

FIGURA 3

Cuando los amortiguadores de un automóvil se desgastan se producen vibraciones subamortiguadas.

EJEMPLO: Un cuerpo que pesa 24 lbf estira un resorte vertical 1 pie, más allá de su longitud normal. El resorte se empuja hacia abajo desde su posición de equilibrio con una velocidad inicial de 2 pie/segundo suponiendo que la fuerza de amortiguamiento es –9 (dy/dt), encontrar una fórmula para el desplazamiento y del cuerpo en cualquier tiempo t.

SOLUCION: Según la ley de Hooke, 24 = k (1) o bien k = 24, la masa del cuerpo es m = w/g = 24/32 = ¾. Usando la notación en el ejemplo anterior.

29 = c = 9 = 12 y w² = k = 24 = 32

m ¾ m ¾

d² y + 12 dy + 32y = 0

Podemos verificar que las raíces de la ecuación auxiliar son –8 y –4. Por lo tanto, estamos en el caso (i) del ejemplo 3 de un movimiento sobreamortiguado y la solución general de la ecuación diferencial es

y = C₁ e ^– 4t + C₂ e^-8t

Tomando t = 0

0 = C₁ + C₂ o bien C₂ = - C₁ m

Como

dy = - 4 C₁ ^e-4t - 8C₂ e^{- 8t}

tenemos en t = 0

2 = - -4C₁ - 8C₂ = -4C₁ – 8 (-C₁) = 4C₁

Por lo tanto, C₁ = ½ y C₂ = -C₁ = - ½. Entonces el desplazamiento y del peso al tiempo t es

y = ½ e^-4t – e ^–8t = (1 – e^-4t ).