Donde b y c son constantes y k es una función continua.

Es conveniente utilizar los símbolos D y D² para los operadores diferenciales tales que si y = ƒ(x), entonces

Dy = y´ = ƒ´(x) ´(x) y y D² y = y´= ƒ´´(x).

Y que si y_{1 =} ƒ₁(x) y ƒ₂(x), entonces

Dada la ecuación diferencial y´´ + by´+ cy = k(x), es decir L(y) =k (x), se dice que la correspondiente ecuación homogénea L(y) = 0 es la ecuación complementaria

Como L(y_p) = k(x) y L(y_c) = 0

L(y_p + y_c ) = L(y_p) + L(y_c)= k(x) + 0 = k(x),

Lo cual significa que y + y es una solución de L(y) = k(x). Más aún, si y = ƒ(x) es cualquier otra solución, entonces

L(y - y_p ) = L(y) - L(y_p) = k(x) - k(x) = 0

Por lo tanto, y - y_p es una solución de la ecuación complementaria. De modo que, y - y_p = y_c para alguna y_c que es lo que quería demostrar.

Resolver la ecuación diferencial y´´ - 4y = 6x – 4x³

SOLUCION. Por inspección vemos que y_p = x³ es una solución particular de la ecuación dada. La ecuación complementaria es y´´ - 4y = 0

La solución general es

Si no puede encontrarse ninguna solución particular de y´´ + by + cy = k(x) por inspección, entonces es posible utilizar el siguiente método, llamado variación de parámetros. Dada la ecuación diferencial L(y) = k(x), sean y₁ y y₂ las expresiones que aparecen en la solución general y = C₁y₁ + C₂ y₂ de la ecuación complementaria L(y) = 0 Por ejemplo, pueden ser como y₁ = e^mx y y₂ = e^m2x . Ahora se trata de encontrar una solución particular de L(y) = k(y) con la forma

y_p = uy₁ + vy₂ .

Donde u = g(x) y v = h(x) para funciones g y h. La primera y segunda derivadas de y_p son

Y´_p = ( uy´₁ + vy´₂)+ ( u´y₁ + v´y₂)

Y´´_p = ( uy´´₁ + vy´´₂)+ ( u´y´₁ + v´y´₂) + (v´ y₂)´

Sustituyendo estas expresiones en L (y) = y´´ + by´ + cy y ordenando los términos, se obtiene

L(y_p) = u(y´´₁ + by´₁ cy₁) + v (y´´₂ + by´₂ + cy₂) +b (u´y₁ + v´y₂)´+ ( u´y´₁ + v´y´₂)

Como y y son soluciones de y + by + cy = 0,los dos primeros términos del lado derecho son 0. Por tanto, para obtener L (y_p) = k (x) basta escoger u y v que satisfagan

Puede demostrarse que este sistema de ecuaciones siempre tiene una solución única para u´ y v´. Entonces, pueden demostrar u y v integrando y usar el hecho de que y_p = uy₁ +vy₂ para tener una solución particular de la ecuación diferencial. La discusión puede resumirse así:

EJEMPLO 2

Resolver la ecuación diferencial y´´ + 2y´- 8y = e^3x

SOLUCION. La ecuación auxiliar m² + 2m – 8 = 0 tiene raíces 2 y –4. La solución general de la ecuación complementaria es

De acuerdo con los comentarios anteriores, se busca una solución particular de la forma y_p = Ae^3x . Como y´_p = 3 Ae^3x y´´ = 9 Ae^3x , sustituyendo en la ecuación dada, llegamos a

9Ae^3x +´´ 6Ae^3x -8 Ae^3x = e^3x

Dividiendo ambos lados entre e ^3x, obtenemos

9ª + 6ª - 8ª = 1 o bien A = 1/7

Entonces y = 1/7 e , y la solución general es

En el siguiente teorema se enuncian, sin demostrar, tres reglas para obtener soluciones de prueba de ecuaciones diferenciales de segundo orden no homogéneas con coeficientes constantes.

SOLUCION : Como

y_p = - A sen x + B cos x y y´´ = - A cos x – B sen x

sustituyendo en la ecuación dada, resulta que

-A cos x – B sen x + 10 sen x – 10B cos x + 41 cos x + 41B sen x = sen x

que se puede escribir

(40 A – 10B)cos x + (10 A + 40B) sen x = sen x

entonces y es una solución siempre y cuando

40 A – 10B = 0 y 10 A + 40B = 1

La solución de este sistema de ecuaciones es A = 1/170 y B 4/170. Por tanto

Y = 1/170 cos x + 4/170 sen x = 1/170 (cos x + 4 sen x)

Y la solución general es