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ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN
La siguiente definición es una generalización
DEFINICION 3
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Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación de la forma Y(n) + ƒ1 (x) y(n-1) + . . . ƒ n-1 n(x)y´ + ƒ n (x) y = k (x) donde ƒ 1 ƒ2 ...ƒn y k son funciones de una variable que tienen el mismo dominio. Si k(x) = 0 para todo x, se dice que la ecuación es homogénea. Si k(x) 0 ¹ para algún x, se dice que la ecuación es no homogénea. |
La forma general de la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes es
Y´´ + by´+cy = 0
Donde b y c son constantes. Antes de tratar de obtener soluciones particulares se demuestra el siguiente resultado.
TEOREMA 4
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Si y = ƒ(x) y Y = g(x) son soluciones de y´´ + by´+ cy = 0, entonces Y = c ƒ (x) + c g(x) + c g(x) Es una solución para todos los números reales C y C |
DEMOSTRACION
Como ƒ(x) y g(x) son soluciones de y´´ + by´+ cy = 0ƒ´´(x) + bƒ´(x) + cƒx = 0
y
g´´(x) + bg´(x) + cg(x) = 0
si se multiplica la primera ecuación por C1, la segunda por C2 y se suman, el resultado es:
[C1 ƒ´´(x) + C2 g´´(x)] + b[C1 ƒ(x) + C1 g´´(x)] + c[C2 (x)] = 0
por lo tanto, C1 ƒ(x) + C2 g (x) es una solución
Se puede demostrar que si las soluciones ƒ y g en el teorema anterior tienen las propiedades de que ƒ(x) ¹ Cg(x) para todo número real C, y si g(x) no es idénticamente 0 entonces y = C ƒ(x) + C g(x) es la solución general de la ecuación diferencial y´´ + by´+ cy = 0. Por tanto, para encontrar la solución general basta obtener dos de estas funciones ƒ y g y aplicar dicho teorema
En la búsqueda de una solución de y´´ +by´+cy = 0, se usará y = emx como solución de prueba. Como y´= me mx y y´´ m² e mx , resulta que y = e mx es una solución si y solo si.
m²e mx + bme mx + ce mx = 0
O bien, como e mx ¹ 0, si y solo si
m² + bm + c = 0
La última ecuación es muy importante para encontrar las soluciones de y´´ + by´+ cy = 0, y se le da el siguiente nombre especial
DEFINICION 5
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La ecuación auxiliar de una ecuación diferencial y´´ + by + cy = 0 es m² + bm + c = 0 |
Obsérvese que la ecuación auxiliar se puede obtener a partir de la ecuación diferencial reemplazado y´´ por m², y por m y y por 1. En los casos más sencillos las raíces de la ecuación auxiliar pueden encontrarse factorizando. Si no es evidente la factorización, entonces aplicando la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado se obtiene que las raíces son:
m = -b ±
Ö b² -4 c2
De modo que la ecuación auxiliar tiene dos raíces distintas m y m , una raíz real doble m, o dos raíces complejas conjugadas si b² - 4c es positivo, cero o negativo, respectivamente.
TEOREMA 6
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Si las raíces m y m de la ecuación auxiliar son reales y distintas, entonces la solución general de y´´ + by + cy = 0 es : y = C 1e mx + C2 e mx. |
EJEMPLO
Resolver la ecuación diferencial y´´ - 3y´- 10y = 0
SOLUCION Resulta que la ecuacón auxiliar es m² - 3m – 10 = 0, o equivalentemente, (m- 5) (m + 2) = 0. Como las raíces m = 5 y m = -2 son reales y distintas, resulta del teorema anterior que la solución general es
Y = C 1emx + C2 emx .
TEOREMA 7
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Si la ecuación auxiliar tiene una raíz doble m, entonces la solución general de y´´ + by´+ cy = 0 es y = C1 e mx + C2 xe mx . |
DEMOSTRACION
Las raíces de m² + bm +c = 0 son m (-b ±
Ö b² - 4c)/2. Si b² - 4c = 0, se obtiene m = - b/2 o bien 2m + b = 0. Como m satisface la ecuación auxiliar, y = e mx es una solución de la ecuación diferencial. De acuerdo con el comentario que siguió a la demostración del anterior teorema, baaasta probar que y´´ + by´+ cy = 0, se tiene que(2me mx + m²xemx) + b(mxemx + emx) + cxemx
= (m² +bm + c)xemx + (2m+b)emx
= 0xemx + 0mxe = 0
que es lo que se quería demostrar.
EJEMPLO 2
Resolver la ecuación diferencial y´´ - 6y + 9y = 0
SOLUCION: La ecuación auxiliar m² - 6m + 9 = 0, o equivalente, (m – 3)² =0 tiene una raíz doble, 3. Por lo tanto, según el teorema anterior, la solución es
y = C1 e3x + C2 xe3x = e3x (C1 + C2 x) .
Se pueden considerar también ecuaciones diferenciales de la forma
ay´´ + by´+ cy = 0
donde a
¹ 1. Es posible llegar a la forma en los teoremas anteriores 4 y 5 entre a ambos lados de la ecuación, sin embargo, normalmente es más fácil utilizar la ecuación auxiliar.am² + bm +c = 0
FUNCIONES DE Z = a + Bi .8.
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ez = 1 + z + z² + . . . + z n + 2! n! Sen z = z - z 3 + z 5 - . . . + (-1) n z2n + 1 + . . . 3! 5! (2n + 1)!
Cos z = 1 - z 2 + z 4 - . . . + (-1) n z2n + 1 + . . . 2! 4! (2n + 1)!
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Usando la primera fórmula se obtiene
e iz = 1 + (iz ) + (iz)² + (iz)³ + (iz) 4 + (iz) 5 + . . .
2! 3! 4! 5!
= 1 + iz + i² z² + i³ z³ + i4 z 4 + i5 z 5 + . . .
2! 3! 4! 5!
Como i² = - 1, i³ = -1, i4 = 1, i5 = i
e iz = 1 + iz + i² z² + i³ z³ + i4 z 4 + i5 z 5 + . . .
2! 3! 4! 5!
Que se puede escribir en la forma
(
(1-zz / 2! + z4/ /4! -...) +( z- z3 /3!+ z5/5! -...) )!
FORMULA DE EULER 9
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Para todo número complejo z eiz = cos z + i sen z |
Las leyes de los Exponentes se satisfacen para los números complejos. Además, las fórmulas para derivadas se pueden generalizar a las funciones de una variable compleja z. Por ejemplo Dz e iz
= ke kz = para todo número complejo k. Si la ecuación auxiliar y´´ + by´+ cy = 0 tiene raíces complejas s ± ti. Entonces la solución general de la ecuación diferencial puede escribirse comoY = C1 e(5x+ti)x + C2e(5x+ti)x
= C1 esx+txi + C2esx-txi
= C1 esx e txi + C2esx e-txi
o equivalente,
y = e sx (C 1 e itx + C2 e -itx ).
Esto se simplifica usando la Fórmula de Euler.
e itx = cos tx + i sen tx
e -itx = cos tx - i sen tx
de lo cual se deduce que
cos tx = e itx + e-itx , sen tx = e itx - e -itx
Tomando C1 = C2 = ½ en la discusión anterior y usando luego la fórmula para cos tx, se obtiene
Y y = ½ e sx (e itx + e-itx )
= ½ e sx (2 cos tx) = esx cos tx
Por lo tanto, y = e cos tx es una solución particular de y´´ + by´+ cy = 0
Tomando C = - C = i/2 se llega a la solución particular y = e sx sen tx. Esta es una demostración parcial del siguiente teorema
TEOREMA 10.
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Si la ecuación auxiliar de m² + bm + c = 0 tiene dos raíces compejas distintas s ± ti , entonces la solución general de y´´ + by´ +cy = 0 |
Y = e
sx ( C1 cos tx + C2 sen tx).
EJEMPLO.
Resolver la ecuación diferencial y´´ - 10y´+ 41y = 0
SOLUCION. Las raíces de la ecuación auxiliar m² - 10m + 41 = 0 son
m = 10± Ö 100 – 164 = 10 ±Ö -64 = 10 ± 8i = 5 ± 4i
2 2 2
La solución general de la ecuación diferencial es
Y = e 5x(C1 cos 4x + C2 sen 4x)