Q(x) = 0 para todo x, se obtiene y´ + P(x) = 0 que es separable. Concretamente se puede escribir:

1 dy = - P(x) o bien 1 dy = - P(x) dx

y dx y

siempre que y =/= 0. Integrando se obtiene

In |y| = - ¦P(x)dx + In |C|.

La constante de integración se ha expresado como In |C| para cambiar la forma de la última ecuación, como sigue:

ahora se observa que

Por lo tanto si se multiplican por e ^{f p(x)dx}, ambos lados de y´+ P(x)y =Q(x), la ecuación resultante puede escribirse como

D_x [ye ^{f P}(x)dx ] = Q (x) e ^{f P}(x)dx

Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene la siguiente solución implícita de la ecuación diferencial lineal de primer orden en la definición anterior.

ye ^{f P}(x)dx ] = Q (x) e ^{f P}(x)dx dx + K

donde K es una constante. Despejando y de esta ecuación se obtiene una solución explícita. Se dice que la expresión e ^{f P}(x)dx es un factor de integración (o integrativo) de la ecuación diferencial. Quedó demostrado el siguiente resultado.

Resolver la ecuación diferencial dy/dx – 3x²y = x²

Solución La ecuación diferencial tiene la forma en la definición anterior con P(x) = -3x² y - y Q(x) = x ². Según el Teorema.

e ^{f – 3x²}dx = e^{– 3x³}

es un factor integrativo. No necesitamos introducir una constate de integración porque e ^{– x²+c} = e^ce^-x³ que difiere de e^{– x³}

en un factor constante e ^c. Multiplicando ambos lados de la ecuación diferencial por el factor de integración e^-x³ obtenemos:

e ^–x²dy/dx – 3^x²e-x² y = x^x³e^{– 3x³}

o bien D_x (e ^{– 3x³²} y) = x²e^–x³.

Integrando ambos lados de la última ecuación

Finalmente, multiplicando por e^–x³ obtenemos la solución explícita

Y = - 1/3 + Ce^–x

Resolver la ecuación diferencial

Y´ + y tan x = sec x + 2x cos x

Solución: Se trata de una ecuación diferencial de primer orden según el anterior teorema

Integrando ambos lados llegamos a la solución (implícita)

Y sec x = tan x + x² + C

Finalmente, multiplicando ambos lados de esta última ecuación por 1/sec x = cos x, se obtiene la solución explícita

Y = sen x (x² + C) cos x

Anteriormente se utilizó la antiderivación para deducir leyes del movimiento de un cuerpo en caída, suponiendo que puede despreciarse la fricción del aire. Esta suposición es válida para cuerpos pequeños que se mueven lentamente; sin embargo, en muchos casos hay que tomar en cuenta la fricción del aire. Esta fuerza a menudo crece cuando la velocidad del objeto aumenta. En el siguiente ejemplo se deduce la ley del movimiento para la caída de un cuerpo suponiendo que el rozamiento del aire es directamente proporcional a la velocidad del cuerpo.

Se deja caer un objeto de masa m desde un globo de aire caliente. Calcular la distancia que recorre en t segundos supioniendo que la fuerza de fricción debida al aire es directamente proporcional a la velocidad del objeto.

SOLUCION Introducimos un eje vertical con la dirección positiva hacia abajo y el origen en el punto donde se deja caer el objeto, como observamos a continuación:

Se desea calcular la distancia s (t) del origen al objeto al tiempo t. La velocidad del cuerpo es v = s´(t) y la magnitud de la aceleración es a = dv/dt = s´´ (t). Si g es la aceleración de la gravedad, entonces el objeto es atraído hacia la tierra con una fuerza de magnitud mg . Por hipótesis, la fuerza de fricción debida al aire es kv para una constante k, y su dirección es opuesta al movimiento. Resulta que la fuerza F hacia abajo sobre el objeto es mg – kv. Como la segunda ley del movimiento de Newton afirma que F = ma = m(dv/dt), llegamos a la siguiente ecuación diferencial:

m dv/dt = mg - kv

o equivalentemente

dv/dt + k/m *v = g

si denotamos por c la constante k/m, esta ecuación puede escribirse como

dv/dt + cv = g

que es una ecuación diferencial de primer orden con t como variable independiente

e ^{ƒc dt} = e^ct

es un factor de integración. Multiplicando por e^ct ambos lados de esta última ecuación, obtenemos

e^ct *dv/dx + ce ^ct v = ge ^ct

D_t (e^ct) = ge^ct

Integrando en ambos miembros

ve^ct = g/c* e^c + K=

v = g/c = K ^–ct

donde K es una constante

Si tomamos t = 0, entonces v = 0 y por lo tanto

0 = g/c + K y K = - g/c

Por consiguiente

V = g/c - g/c * e^ct

Integrando con respecto a t en ambos lados de esta ecuación y usando el hecho de que v = s´(t), vemos que

S(t) = g/c*t + g/c²*e^-ct + E

Podemos calcular la constante E considerando t = 0. Como s(0) = 0

0 = 0 + g/c² + E o bien E = - g/c²

Por lo tanto, la distancia que el objeto recorre el t segundos es

S(t) = g/c*t + g/c² * e^ct - g/c²

Es interesante comparar esta fórmula para s(t) con la que se obtuvo cuando se despreció la fricción del aire. En este caso la ecuación diferencial m(dv/dt) = mg – kv se reduce a dv/dt = g por lo tanto, s´(t) = v = gt. Integrando en ambos lados se obtiene la fórmula s(t) = ½ gt², que es mucho más simple.