Una ecuación en la que aparecen x,y, y´y´´,... y y⁽ⁿ⁾ , donde y es una función de x y y ⁽ⁿ⁾ es la n-esima derivada de y con respecto a x, es una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Los siguientes ejemplos son ecuaciones ordinarias del orden especificado:

Recordemos que una función f (o f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir y por f (x) se obtiene una identidad para todo x en un intervalo. Por ejemplo, la ecuación diferencial

Y´ = 6x ² - 5

Tiene solución

F (x) = 2x³ - 5x + C

Para todo real C, porque al sustituir y por f(x) se llega a la identidad 6x ² - 5 = 6x ² - 5. Se dice que f(x) = 2x ³ - 5x + C es la solución general de y´= 6x ² - 5 porque todas las soluciones son de esta forma. Se obtiene una solución particular asignando valores específicos a C. Por ejemplo, tomando C = 0 se obtiene la solución particular y = 2x³ – 5x. A veces se dan condiciones iniciales para determinar una solución particular, como se ilustra en el siguiente ejemplo

1. Encontrar la solución general de la ecuación diferencial y´= 2x e ilustrarla gráficamente
2. Obtener una solución particular de y´ = 2x que satisfaga la siguiente condición: y = 3 cuando x = 0

Demostrar que la ecuación diferencial y´´ - 25y = 0 tiene como solución

F(x) = C₁e^5x + C₂e^-5x

Donde C₁ C₂ son números reales

SOLUCION. Derivando obtenemos

Y f´(x) = 5C₁e^5x - 5C₂e^-5x

Y f´´(x) = C₁e^5x + 25C₂e^-5x

Sustituyendo y por f (x) en la ecuación diferencial y´´ - 25y = 0, llegamos a:

(25C₁e^5x + 25C₂e^--5x ) – 25(C₁e^-5x + C₂e^--5x) = 0

(25C₁e^5x - 25C₁e^-5x ) + (25C₂e^-5x - 25 C₂e^-5x ) = 0

como el lado izquierdo de la ecuación es 0 para todo x, resulta que ƒ (x) es solución de y´´ - 25y = 0

La solución C₁e^5x + C₂e^-5x del Ejemplo 2 la solución general de y´´ - 25y = 0. Observamos que la ecuación general tiene dos constantes arbitrarias (llamadas parámetros) C₁ y C₂ . La definición precisa de solución general involucra el concepto de parámetros independientes. Las soluciones generales de ecuaciones diferenciales de n-ésimo orden tienen n parámetros independientes C_1, C₂ ....., C_n

Las soluciones particulares se obtienen asignando valores específicos a cada parámetro. Algunas ecuaciones diferenciales tienen soluciones que no son casos especiales de la solución general.

Tales soluciones singulares no se discuten en este caso.

EJEMPLO 3

Demostrar que x³ + x²y – 2y³ = C es una solución implícita de

(x² - 6y²)y´+ 3x² + 2xy = 0

Si y = ƒ(x) satisface la primera ecuación, entonces derivando implícitamente,

3x² + 2xy + x²y´- 6y²y´ = 0

o bien

(x²- 6y²)y´+ 3x² + 2xy = 0

Por lo tanto, ƒ(x) es una solución de la ecuación diferencial.

Una de las clases más sencillas de las ecuaciones diferenciales es

M(x) + N(y)y´= 0 o bien M(x) + N (y) dy/dx = 0

Donde M y N son funciones continuas. Si y = ƒ(x) es una solución, entonces

M(x) + N(ƒ(x) ƒ´(x) = 0

Si ƒ(x) es continua, entonces la integral indefinida lleva a

La última ecuación es una solución (implícita) de la ecuación diferencial. Se dice que la ecuación diferencial M(x) + N(y)y´ = 0 es separable porque las variables x y y se pueden separar, como se indicó.

Una manera fácil de recordar el método se separación de variables es cambiar la ecuación

M(x) + N(y) dy/dx = 0

A la forma

M(x) dx + N(y)dy = 0

Y luego integrar cada término.

EJEMPLO 4

Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de elipses x² + 3y² = c, y trazar varias curvas de cada familia.

SOLUCION Derivando implícitamente la ecuación dada, obtenemos

2x + 6yy´ = 0 o bien y´ = - x / 3y.

Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en un punto (x,y) de alguna de las elipses es y´= - x/(3y). Si dy/dx es la pendiente de la recta tangente en una trayectoria ortogonal correspondiente, entonces debe ser igual al negativo del recíproco de y´. Esto lleva a la siguiente ecuación diferencial para la familia de trayectorias ortogonales.

dy = 3y

dx x

separando las variables

dy = 3 dx

y x

Integrando y escribiendo la constante de integración como In ¦y¦ obtenemos

In |y| = 3 In |x| + In |k| = In |kx³|.

Resulta que y = kx³ es una ecuación de la familia de trayectorias ortogonales. En la siguiente gráfica aparecen varias curvas de la familia de las elipses (en tono oscuro) y las correspondientes trayectorias ortogonales (en tono claro)